Il y a longtemps que je n'ai pas écrit mon blog. Aujourd'hui la séminaire à ENS Cachan est la journée pour célébrer lauréat de médaille d'Abel Yves Meyer, le fondateur de la théorie ondelette. J'aimerais dire que j'ai déjà connu très bien l'histoire sur l'ondelette quand j'étais à l'université et c'était à la fois le premier choix de ma thèse. En conséquence, retrouver ces connaissances est comme un bon souvenir pour moi. Ici, j'ai rappelle quelques exposées intéressantes.
L'ondelette est une collection de base de $L^2(\mathbb{R})$, engendrée par translation et le changement d'échelle, orthogonal et quelques fois ils ont aussi des propriétés de décroissance, support compact etc. Généralement, ils ont la forme
$$
\psi_{j,n}(t) = \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi (\frac{t - 2^j n}{2^j})
$$
Dans dimension 2 la structure est un peu plus compliquée. Quand on fait le codage, c'est comme dans la transformation de Fourier, mais en fait, on garde que les coefficients plus grands que un seuil qui jette les autre termes moins importants. Cette opération nous permet de compresser les informations et c'est la base de JPEG. Dans l'implémentation, on utilise l'algorithme de pyramide. Malheureusement, quand Mallat raconte l'histoire, il a dit l'homme n'a plus de l'algorithme JPEG2000 car il pense que la qualité de JPEG est assez bon.
La méthode d'ondelette code l'information du signal couche par couche, bloque par bloque.
Mais dans le traitement d'image, il a d'autre technique. Un s'appelle BV décomposition. La formule est
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Photo = Cartoon + Texture
$$
C'est la décomposition de semi-martingale. Dans une image, il y toujours une bonne partie comme une fonction de BV et une autre mauvaise partie comme bruit. On sépare les deux et utilise que un parmi eux.
L'aventure d'ondelette n'est pas finie. Il y a des applications dans la détection d'onde gravitationnelle, l'apprentissage approfondi etc. La racine de méthode réelle viens de la méthode complexe, mais on veut un peu plus que la méthode complexe pour traiter le cas pas régulier. En plus, on espère de retrouver le secret dans l'algorithme de Le Cun.
J'ai demandé aussi la question sur la simulation de géométrie imaginaire. La réponse est : la localisation est possible mais il y toujours des problème au bord. La généralisation de l'énergie de Dirichlet est faisable mais on a besoin de le refaire a la main.
