1. Le modèle très simple est le mouvement brownien, qui n'est pas de classe $C^1$.
2. Un théorème de Dubins-Schwarts nous dit que une martingale locale continuée est presque un mouvement brownien après un changement du temps.
3. Oui, on parle de dérivée bruit blanc, mais c'est toujours de sens faible ou il veut dire intégration stochastique.
Si on dit la "dérivée" dans l'autre sens non standard, bon, c'est toujours possible. Mais finalement, on trouve un exo qui nous dit c'est possible lorsque la covariance $K(s,t)$ est de classe $C^2$ et en fait on a fait cet exo avant.
Argument est comme suivant :
1. $\left\{\frac{G_{t+ \delta - G_t}}{\delta}\right\}_{t \geq 0}$ est un processus Gaussien après la linéarité d'espace Gaussien.
2. On vérifie il est de suite de Cauchy dans $L^2$. Donc il admet une limite comme Gaussien.
3. La limite a une covariance $\partial_s \partial_t K(s,t)$.
Donc, on voit dans le sens de limite $L^2$ il admet la limite. C'est tout de propriété de Gaussien, qui est fermé dans le sens limite.
Mais pourquoi on a tendance de mélanger le cas avec la martingale. Voilà, une martingale est un processus ssi il est de croissance indépendante. Mais ici, le processus a vraiment de mémoire et le cas PAIS ne peut pas avoir dérivée. Donc, même si le processus aléa est souvent fractal, il peut être régulier.
2. Un théorème de Dubins-Schwarts nous dit que une martingale locale continuée est presque un mouvement brownien après un changement du temps.
3. Oui, on parle de dérivée bruit blanc, mais c'est toujours de sens faible ou il veut dire intégration stochastique.
Si on dit la "dérivée" dans l'autre sens non standard, bon, c'est toujours possible. Mais finalement, on trouve un exo qui nous dit c'est possible lorsque la covariance $K(s,t)$ est de classe $C^2$ et en fait on a fait cet exo avant.
Argument est comme suivant :
1. $\left\{\frac{G_{t+ \delta - G_t}}{\delta}\right\}_{t \geq 0}$ est un processus Gaussien après la linéarité d'espace Gaussien.
2. On vérifie il est de suite de Cauchy dans $L^2$. Donc il admet une limite comme Gaussien.
3. La limite a une covariance $\partial_s \partial_t K(s,t)$.
Donc, on voit dans le sens de limite $L^2$ il admet la limite. C'est tout de propriété de Gaussien, qui est fermé dans le sens limite.
Mais pourquoi on a tendance de mélanger le cas avec la martingale. Voilà, une martingale est un processus ssi il est de croissance indépendante. Mais ici, le processus a vraiment de mémoire et le cas PAIS ne peut pas avoir dérivée. Donc, même si le processus aléa est souvent fractal, il peut être régulier.
