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2017年9月1日星期五

Rappel de probabilité (3) : le théorème de grand nombre

La théorème de grand nombre est une théorie très importante dans probabilité, mais sa démonstration peut être assez technique sous différentes conditions. Pour la suite, on raconte quelques histoires sur le théorème de grand nombre.

La théorie plus classique suppose que {Xi} sont i.i.d et sa variance est finie. Sous cette condition, on a inégalité de Markov
P[Snn>ϵ]<Var(X)nϵ2
qui suffit d’entraîner la loi faible. Concernant la loi forte, on choisit une sous-suite et montre la convergence p.s grâce au lemme de Borel-Cantalli. Puis on contrôle les erreurs entre eux. Cette technique est la base de beaucoup de démonstration.

Pour aller plus loin, une direction est supprimer la condition de variance. Dans ce cas, il faut utiliser la technique de troncature comme
Yn=XnIXn<n
Cette technique a des propriétés incroyable mais pas évidant :
(1) Avec probabilité 1, il y a que nombre fini de XnYn
(2) n[Var(Yn/n)]<

La première propriété est très utile, il nous dit que l'étude de convergence se réduit comme le comportement de Yn. La deuxième a beaucoup d'application. Soit on suit la même chemin que la méthode classique : montre une convergence de sous-suite et contrôle les erreurs entre eux. Soit on utilise la méthode de Kolmogorov.

La méthode de Kolmogorov est en fait, utiliser l'idée de martingale. En utilisant la convergence de martingale L2, on montre p.s nYnn converge. Puis, un lemme de Kronecker - un lemme pure d'analyse maths, qui nous dit que dans cette situation,  nk=1Ykn converges.

La situation sans L1 est aussi possible d'étudier mais cela dépend de démonstration. La loi faible peut se généraliser dans le cas de variable aléatoire corrélée ou L1 faible. Mais quelques fois, on essaie aussi d'autre normalisation.

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