2A - 还有三周

说说过去的P3情况

【P3】

【马尔科夫链和随机过程】
花心思很多的一门课。拿到书的时候发现两块内容基本都自学过，然而还是又好好读了书，做了习题，帮老师查了好多打印错误，拓展着看了Yuval的书可惜还没有看完。

可以认为Markov作为离散动力系统中的一环，随着计算机的发展已经变得和连续动力系统中的微分方程一样重要了。嗯，其实我们也常用Markov来模拟拉普拉斯方程的对吧？今天还读到关于Mixing Time的科普性文章，这个我非常喜欢。

简单说，Markov就是一个只和当下有关而不在乎过去的随机过程。我们关心周期性、渐进行为、渐进速度Mixing time、截断情况Cutoff。还有很多技巧，例如Couple 这些都是值得研究的。包括从纯数学角度，研究群结构意义下的随机游动也帮助我们知道群的结构。

离散鞅论就是连续鞅论的前奏，赌场股市必备神技的入门篇。当然概念来的很抽象啦，不过由于他特殊的结构，使得收敛证明其他条件减弱了。在信号方面他也有另一套说法，这些我也和同学介绍过。

【变分PDE】
变分类的PDE，核心就是Lax-Milgram定理，所用的其实是泛函中的表示定理。然后各种提条件方法，一些空间的介绍。

变分类问题也算数学上一大类了，时下机器学习盛行，很多时候也是优化一个目标函数。能用到变分方法的机会也还是不少的。这门课就是告诉大家：数学上，你要找到的上界就TMD是最大值。

还有计算特征值的方法（研究谱），也是一大类了，本课讲了最基本的观点。

这门课最后一个大的projet我们做了流传已久的“能不能从频率听出鼓形状”这样一个课题。用了Freefem，老实说到现在也不太会真正使用这个软件，就凑合着写了点边界条件吧。

【统计物理1】
统计物理1主要还是在说热力学的内容。统计物理的研究对象是大规模相同粒子的整体行为，但这个整体行为同时又是千千万万个体行为的综合表示。这个学科特别有意义，在于现实中很多事情都可以用这种类似的模型去类比，比如金融市场。

统计物理很多时候会和概率论扯在一块，这也是时下一个研究方向。la fonction de repartition 就是概率论中的统计物理1中粒子大多都是idd的。这也是理想气体的假设。

【Modal】
最后是Modal，又是NS方程，这个方程在本科时候已经和老师学过并且做了关于Onsager猜想的研究了。现在重新学了一遍，把之前不了解的经典理论补上了。

NS方程最经典的理论来自于Leray，他的方法导出了目前为止最主要的一些成果。通常我们在H^1空间中研究这个问题，比如NS方程在二维情况存在、唯一、正则性都是有的，但在3维忠就不对，因为空间嵌入不够好。

Leray的研究方法说起来就是对函数先阶段，然后微分算子在频率有界情况下就是有界算子了，那么ODE的存在唯一性都能用上（这里体现了ODE和PDE的差别）。对于一族解，再利用泛函里面的一些逼近性质就得到了解。

之前说了在三维中，因为空间嵌入不够好，就没有唯一性和正则性了，怎么办呢？我们还是有一些结论的，比如在初值小的情况下，正则性还是有的。比如我们可以研究换个函数空间这样的。

最后一个结论，在有科里奥利力的作用下，三维的力本质和二维差不多，也可以得到一些关于正则性的结论。这是最新的研究成果了，我们也就读到这里。