Séminaire 30/05/2017 : Courbure de Ricci sur graphe

Cette séminaire est très intéressante car elle réponds ma question sur comment définir une courbure sur un graphe, même si pour l'instant, la définition ne suffit pas de retrouver toutes les propriétés géométriques. Comme je travaille maintenant  sur la carte aléatoire et la gravité quantique, j'aimerais vraiment avancer encore une étape d'attaquer la partie géométrique. Pour la suite, je vais taper plusieurs propositions dans cette séminaire.(D'après Hervé Pajot)

Rappelle de géométrie Riemannienne 

Soit $M$ une variété muni de métrique $g$, on peut définir la distance de courbe $$L(r) = \int_0^1 \sqrt{g(\frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial  r}{\partial t})}dt$$

et la volume $$ Vol(A) = \int_A \sqrt{det(g)} dx$$

En plus, on peut aussi définir la courbure de Ricci, qui reflet beaucoup de propriétés de cette variété. Par exemple, on sait que une variété avec la courbure de Ricci positive a une croissance de volume comme dans l'espace $\mathbb{R}^d$. Et surtout, borné en bas nous permet d'utiliser l'inégalité de Poincaré. Donc, on aimerait d'avoir une généralisation dans espace métrique.

Espace métrique

Différent que la variété Riemannienne, dans un espace métrique, la distance de courbe n'est pas bien défini à priori. C'est pour ça, on travaille dans un espace métrique, mesuré, de distance $(X, d, \mu)$. Une manière de construction est la courbure d’alexandra, qui est invariant sous la convergence de distance de Gromov-Haussdorff. D'ailleurs, la variété avec la courbure de Ricci positive  est pré-compacte dans l'espace $(K, d_{GH})$. 

Espace Wasserstein

Dans  la recherche de transport optimal,  on utilise souvent la distance de Wasserstein et l'espace de Wasserstein $(P(X), W_2)$. En fait, si l'espace $X$ est de distance, ainsi que l'espace de Wasserstein. Donc il existe géodésique entre deux distribution. Plus précisément, les élément dans  $(P(X), W_2)$ sont tous distribution de probabilité et une géodésique $\mu_t$ est la courbe plus courte de relier $\mu_0$ et $\mu_1$. Comme ça on sait comment trouver le transport optimal, c'est juste  trouver cette géodésique.

En utilisant cette idée, les mathématiciens définissent aussi une généralisation de courbure de Ricci qui s'appelle N-Ricci. Soit une une suite d'espace de courbure  positive, alors sa limite dans le sens de Gromov-Haussdorff est aussi de courbure positive. En plus, sur l'espace comme ça, on peut appliquer l'inégalité de Poincaré.

Généralisation sur graphe

Même si l'on a plusieurs manière de définir la courbure de Ricci sur un graphe, mais dans mon avis, ils ne retrouvent pas toutes les propriétés. Peut-être c'est aussi parce que l'objet étudié par probabiliste est plus concret et la description d'analyse ne suffit pas de tout dessiner.

Séminaire 11/05/2017 : Probabilité de demain

This is the second edition of the seminar of this doctor probability seminar. Here I just cite some high light.

2D Ising model by Dmitry Chelkak : this is a topic which has been studies longtime, but there are still many questions open and the most  tremendous progress is found in recent year. We may  know the scaling limit of the interface of hexagon is $SLE_6$, but how about the others ? In fact, the scaling limit of the configuration is related to a similar random process - CLE conformal loop ensemble, another varied version of SLE. Moreover, a complete system of discrete complex analysis and discrete holomorphic tools are developed. There are a lot of open questions like Ising model on random maps.

Recurrence relation and dimer model by Paul Melotti : We can find a direct correspondent relation between recurrence series and the partition function of dimer model, which helps us express it explicitly, I ask the question if we could also find the recurrence for given partition function ? The answer is negative  since the recurrence is always polynomial and this is not the case for any partition function - the integrable  problem.

Flips of the triangulation on the sphere by Thomas Budzinski : The uniform triangulation is now a very popular topics. However, how we construct them ? The natural way is Monte-Carlo. We start from a configuration and we try  to flip the configuration like MCMC metropolis method. Using the $n^4$ growth and the bottleneck property, Thomas gives a inferior bound for the mixing time as $n^{\frac{5}{4}}$. However, the upper bound is missing (but he says numerical result is like this.) And we want if we could do better ?

Expander by Simon Coste : OK, this is the topic of my PSC at Polytechnique. This talk still gives me some new idea. From the point of random graph, the distribution of random value has demi-circle law and this can be generalized to some more general case - graph oriented, We ask if random map could be a expander ? It seems not but we need to add the weight ... Anyway, the spectral analysis also is an important  technique in random model.

A nonlinear SPDE by Perla EI Kettani : WOW, I find something that I look forward longtime. Once, I ask if Gaussian free field has some application in analysis and this is one example. If we consider the coefficient of each element of orthogonal base is not only a gaussian but also a Brownian motion, we  generally use the stochastic analysis frame to treat PDE, Therefore, the GFF is one type of noise as one of my friend comments on my simulation. So, probability and analysis interacts and I believe that there will be more applications.

Deformation of random field by Julie Fournier : I didn't understand much but it seems like the deformation of random field.

Bismut-Elworthy-Li formula by Henri Elad Altman : Henri fires ! This talk is about the strong Feller property. Just like the transport equation can only keep the regularity but the diffusion equation can improve the regularity, we ask the same question for the semi-group. This formula applies for a general Ito process given that the drift isn't so degenerated. This tool is essential  for the study of some kinds of equation like equation of KPZ.

Cost functional for large random trees by Marion Sciauveau : We would like to generalize  the cost functional from a discrete random tree to a continuous tree coded by Brownian excursion. Before we do the convergence and in fact, we can also embed the discrete tree into the continuous tree. The cost functional helps study the DC complexity.

Hypercube percolation by Remco van der Hofstad : A exhaustive study about the percolation on the hypercube, It is hard to imagine that the work is done without simulation. The critical point is given by
$$
\mathbb{E}_{p_c}[C_0] = 2^{n/3}
$$
and the window is about $2^{-n/3}$, which means in this period we see a drastic transition of phase.

I think a seminar like this gives us a quick understand of different direction of probability, since the subject is always very various in this domain. On the other hand, to make new friends during the seminar is also interesting. However, to see those who grow up together from prepa, master and become collaborator is an envy.

Séminaire 03/05/2017 : Courbe de mesure

Résumé d'exposé d'après Hugo Lavenant sur le problème de transport optimal.

Problème de transport optimal
Sur un ensemble $\Omega$ on peut définir l'ensemble de mesure de probabilité $\mathcal{M}_1(\Omega)$. Un problème de transport optimal est chercher une manière de transport tel qu'il commence par une probabilité $\rho_0$ et termine par une autre $\rho_1$ ce coût est minimal.

Mathématiquement, l'ensemble de probabilité de transition est
$$
\Pi(\rho_0, \rho_1) = \{\pi \in \mathcal{M}_1(\Omega \times \Omega)| \forall A \in \mathcal{B}(\Omega) , \pi(A, \Omega) = \rho_0(A),  \pi(\Omega,A) = \rho_1(A)          \}
$$
et le coût est donné par la distance de Wasserstein
$$
W^2_2 (\rho_0, \rho_1) = \min_{\pi \in \Pi(\rho_0, \rho_1) } \{ \int_{\Omega \times \Omega} |x - y|^2 d\pi(x,y) \}
$$.

Bien sûr, on peut généraliser la distance ici par d'autre norme ou utiliser une distance double.


Courbe de mesure
Un théorème de Radmender nous dit dans l'espace $\mathbb{R}^d$, une fonction lipschitzienne est presque comme une fonction dérivée et on peut appliquer la formule Newton-Leibniz. En fait, c'est un résultat direct d'une fonction absolument continuée. Si on définit une flot
$$
\rho : [0, 1] \rightarrow \mathcal{M}_1(\Omega)
$$
qui est aussi lipschitzienne dans le sens de distance de Wasserstein. Alors,
$$
\frac{W_2 (\rho_{t+h}, \rho_{t})}{h}
$$
existes mais $W_2 (\rho_{t+h}, \rho_{t}) \leq \int_{t}^{t+h} |\partial \rho_t| dt$.

L’intérêt de courbe de mesure est de construire une mesure sur l'espace $\Gamma = C([0, 1], \Omega)$ donc c'est l'ensemble. Alors une mesure sur l'espace comme ça est un peu compliquée mais on rappelle qu'il est espace polonais. Donc, pour une flot, il existe une mesure $\mu \in \mathcal{M}_1(\Gamma)$ tel que
$$
 \rho_t(A) = \mu [\gamma \in \Gamma, \gamma(t) \in A]
$$
puis l'intégration
$$
\int_0^1  |\partial \rho_t|^2 dt = \int_{\Gamma} \left(\int_0^1  |\partial \gamma(t)|^2 dt\right)d\mu(\gamma)
$$
 Un dernier remarque : Cette façon relie beaucoup la analyse et la théorie de probabilité et surtout a un esprit de l'intégration de chemin. Imagine est-ce que l'on a chance de l'utiliser dans la géométrie aléatoire ? On va voir.