Séminaire 03/05/2017 : Courbe de mesure

Résumé d'exposé d'après Hugo Lavenant sur le problème de transport optimal.

Problème de transport optimal
Sur un ensemble $\Omega$ on peut définir l'ensemble de mesure de probabilité $\mathcal{M}_1(\Omega)$. Un problème de transport optimal est chercher une manière de transport tel qu'il commence par une probabilité $\rho_0$ et termine par une autre $\rho_1$ ce coût est minimal.

Mathématiquement, l'ensemble de probabilité de transition est
$$\Pi(\rho_0, \rho_1) = \{\pi \in \mathcal{M}_1(\Omega \times \Omega)| \forall A \in \mathcal{B}(\Omega) , \pi(A, \Omega) = \rho_0(A),  \pi(\Omega,A) = \rho_1(A)          \}$$
et le coût est donné par la distance de Wasserstein
$$W^2_2 (\rho_0, \rho_1) = \min_{\pi \in \Pi(\rho_0, \rho_1) } \{ \int_{\Omega \times \Omega} |x - y|^2 d\pi(x,y) \}$$ .

Bien sûr, on peut généraliser la distance ici par d'autre norme ou utiliser une distance double.


Courbe de mesure
Un théorème de Radmender nous dit dans l'espace $\mathbb{R}^d$, une fonction lipschitzienne est presque comme une fonction dérivée et on peut appliquer la formule Newton-Leibniz. En fait, c'est un résultat direct d'une fonction absolument continuée. Si on définit une flot
$$\rho : [0, 1] \rightarrow \mathcal{M}_1(\Omega)$$
qui est aussi lipschitzienne dans le sens de distance de Wasserstein. Alors,
$$\frac{W_2 (\rho_{t+h}, \rho_{t})}{h}$$
existes mais $W_2 (\rho_{t+h}, \rho_{t}) \leq \int_{t}^{t+h} |\partial \rho_t| dt$.

L’intérêt de courbe de mesure est de construire une mesure sur l'espace $\Gamma = C([0, 1], \Omega)$ donc c'est l'ensemble. Alors une mesure sur l'espace comme ça est un peu compliquée mais on rappelle qu'il est espace polonais. Donc, pour une flot, il existe une mesure $\mu \in \mathcal{M}_1(\Gamma)$ tel que
$$\rho_t(A) = \mu [\gamma \in \Gamma, \gamma(t) \in A]$$
puis l'intégration
$$\int_0^1  |\partial \rho_t|^2 dt = \int_{\Gamma} \left(\int_0^1  |\partial \gamma(t)|^2 dt\right)d\mu(\gamma)$$
 Un dernier remarque : Cette façon relie beaucoup la analyse et la théorie de probabilité et surtout a un esprit de l'intégration de chemin. Imagine est-ce que l'on a chance de l'utiliser dans la géométrie aléatoire ? On va voir.