Rappel de probabilité (2) : convergence en loi - théorie générale sur l'espace métrique

La théorie de convergence sur l'espace de probabilité est peut-être plus compliquée que  nous avons pensé. Evidemment, on connait la définition de convergence p.s, de convergence en probabilité et de convergence en loi depuis on apprend la probabilité élémentaire - ou peut-être depuis on apprend l'analyse réelle. Mais ils ont des versions avancée. Par exemple, on peut poser des questions suivante:

-Est-ce que on peut parler de convergence en loi sur un espace abstrait ? Ou au moins, la convergence de processus aléatoire.

-Est-ce que la convergence  en loi a totalement rien à voir avec la convergence p.s ?

-Comment généraliser le nuage de Poisson ? 

Personnellement, c'est l'année dernière quand je lisait des articles sur la géométrie aléatoire, j'arrive de trouver que le contexte de ces terminologies est plus large. Heureusement, les géants ont déjà construit une base solide et assez générale pour nous. - Je crois les probabilistes comme Lévy; Meyer et Neveu comprennent les travaux aujourd'hui, même si le modèle est plus varié et sophistiqué.

Convergence en loi sur $\mathbb{R}^d$

La définition de convergence en loi sur $R^d$ est assez connue : 

Définition : (Convergence en loi $\mathbb{R}^d$)

On dit $\mu_n \Rightarrow \mu$ si $\forall f \in \mathcal{C}_c({\mathbb{R}^d})$, $\mu_n(f) \rightarrow \mu(f)$.

Il existe plusieurs caractérisations de cette définition. 

Caractérisation 1 : Par le théorème de Lévy et fonction génératrice.

Caractérisation 2 : Dans $\mathbb{R}$, la fonction de répartition satisfait $F_n(x) \rightarrow F(x)$ pour tous les points de continuité de $F$.

Caractérisation 3 : Dans $\mathbb{R}$, $\forall < \epsilon$, il $\exists A, t.q \sup_{n} \mu_n(\mathbb{R} \backslash [-A,A]) < \epsilon$, alors il existe une sou-suite $\mu_{\phi({n})} \Rightarrow \mu$.

Convergence en loi sur l'espace métrique

Un première question est "est-ce que l'on peut généraliser ces résultats sur un espace plus abstrait ? " Comme on sait comment définir une fonction continuée bornée $ \mathcal{C}_b((E,d),\mathbb{R})$ sur un espace métrique (en fait, un espace T4 suffit), et on rappelle la construction de mesure sur un espace métrique : c'est après la représentation de théorème de Riez et les fonctionnelles de Radon positives, c'est aussi possible de parler la convergence sur un espace abstrait.

La mesure sur celui a beaucoup de régularité $$\begin{eqnarray*}\forall A \in \mathcal{B}(E), \mu(A) &=& \inf \{\mu (O), O \text{ ouvert }, A \subset O\} \\ &=& \sup\{\mu (F), F \text{ fermé }, F \subset A\}\end{eqnarray*}$$

On dit $\mu_n \Rightarrow \mu$ si $\forall f \in \mathcal{C}_c((E,d),\mathbb{R})$, $\mu_n(f) \rightarrow \mu(f)$.

Cette définition est exactement parallèle que celle dans l'espace $\mathbb{R}^d$. On énonce un théorème, assez générale et en fait, on l'utilise aussi dans la démonstration dans les résultats précédents.

Théorème ; (Définition équivalente)

1. $\mu_n \Rightarrow \mu$.
2. $\forall O$ ouvert, $\liminf_{n \rightarrow \infty} \mu_n(O) \geq \mu(O)$.
3. $\forall F$ fermé, $\limsup_{n \rightarrow \infty} \mu_n(F) \leq \mu(F)$.
4. $\forall A \in \mathcal{B}(E) $ si $\mu(\partial A) = 0$, on a $\lim_{n \rightarrow \infty} \mu_n(A) = \mu(A)$.
5. $\forall f \text{ p.s } \mu $ bornée, $\lim_{n \rightarrow \infty} \mu_n(f) = \mu(f)$.

Espace polonais et métrisation de $\mathcal{M}_1(E)$

Quand on entre le domaine plus générale, c'est-à-dire le cas de l'espace topologique, on a besoin de travailler sur un espace un peu compliqué mais satisfait quand-même des propriétés similaires que celui dans l'espace $\mathbb{R}^d$. C'est l'espace polonais.

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Définition : (Espace polonais)

Un espace $(E,d)$ polonais est un espace métrique, séparable et complet.

L'intérêt de cet espace est qu'il donne plus description sur la convergence en loi. En fait, la mesure comme un sous ensemble de fonctionnelle, c'est nature d'étudier la topologie sur cet espace $\mathcal{M}_1(E)$. En plus, le résultat suivant est vraiment important.

Proposition : (Topologie de $\mathcal{M}_1(E)$)
Soit $(E,d)$ un espace polonais,  alors on peut donner une distance sur $\mathcal{M}_1(E)$ tel qu'elle induit la même topologie étroite sur $\mathcal{M}_1(E)$. En plus, on peut réaliser que $\mathcal{M}_1(E)$ est un espace polonais sous cette distance.

C'est miracle. Une fois, on a une distance sur l'espace, les études sur $\mathcal{M}_1(E)$ est plus facile. La démonstration est assez intéressant. Grâce au théorème de Weierstrass-Stone, la fonction uniformément continuée est en fait séparable. Alors, on définit
$$
dist(\mu, \nu) = \sum_{n \geq  1}\frac{1}{2^n}|\mu(g_n) - \nu(g_n)| \wedge 1
$$
Cette distance réalise la même topologie et séparabilité. En revanche, la complétude, en fait, a rien à voir avec la topologie. Il y a des distances qui introduisent la même topologie mais avec différente complétude. La distance propre est plus compliquée qui s'appelle la distance de Lévy-Prokhorov.


Et puis, la convergence en lois de mesure est en effet un type de compacité sur $\mathcal{M}_1(E)$. La notation de tension et le théorème de Prokhorov seront utiles dans cette situation. Finalement, on rappelle le dernier résultat - la représentation de Shorokhod

Théorème de Shorokhod :
Soit $\mu_n \Rightarrow \mu$, alors il existe un espace $(\Omega,  \mathcal{F}, \mathbb{P})$ tel qu'il existe une suite de mesure $\nu_n$ ($\nu$)qui ont la même mesure que $\mu_n$($\mu$) mais $\nu_n \rightarrow  \nu$ p.s .

On sens vraiment, ce théorème va tricher dans quelques démonstrations.