Rappel de probabilité (1) : classe monotone et construction de mesure

Il y a toujours des techniques et des points subtiles dans la théorie de probabilité. Dans cet article, on collectionne des petites techniques utilisées suivantes dans la théorie de probabilité, la théorie de mesure et le processus stochastique.

Le premier article est consacré pour la construction de mesure et l'unicité grâce au théorème de classe monotone. En anglais, il s'appelle aussi le lemma de $\pi-$système et $\lambda-$système.

Définition (Classe monotone)
$\mathcal{M} \subset \mathcal{P}(E)$ est dit une classe monotone si et seulement s'il satisfait les propriétés suivantes :

1. $E \subset \mathcal{M}$
2. Soit $A,B \in \mathcal{M}, A \subset B$, alors $B \backslash A \in \mathcal{M}$
3. Soit $A_n \subset A_{n+1} \cdots, A_n \in \mathcal{M}$, alors $\bigcup_n A_n \in \mathcal{M}$ 

Lemma (Classe monotone)
Soit $\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(E)$ et $\mathcal{C}$ est stable sous intersections finies, alors $\mathcal{M}(\mathcal{C}) = \sigma(\mathcal{C})$.
PF: On juste liste les idées clés dans la démonstration.

1. Il suffit de montrer que $\mathcal{M}(\mathcal{C})$ est aussi stable sous intersections finies.
2. On définit $\mathcal{M}_1(\mathcal{C}) = \{B \in \mathcal{M}(\mathcal{C}) | A \cap B \in \mathcal{M}(\mathcal{C})\}$  pour $A \in  \mathcal{C}$ et vérifie que $\mathcal{M}_1(\mathcal{C})$ est aussi une class monotone. Vu que $\mathcal{M}_1(\mathcal{C}) \subset \mathcal{M}(\mathcal{C})$, on obtient $\mathcal{M}_1(\mathcal{C}) = \mathcal{M}(\mathcal{C})$.
3. On adapte la même stratégie pour $A \in \mathcal{M}(\mathcal{C})$ et montre que $\mathcal{M}(\mathcal{C})$ est stable sous intersections finies et on conclut. 

Théorème (Unicité de mesure)
Soient $\mu, \nu$ deux mesure sur $(E, \mathcal{A})$ et $\mathcal{C} \subset \mathcal{A}$ stable sous intersections finies et $\sigma(\mathcal{C}) = \mathcal{A}$. Si deux mesures coincident sur $\mathcal{C}$, une condition suivante assure que les deux sont identiques sur $\mathcal{A}$.

1. $\mu(E) = \nu(E) < \infty$
2. $\exists E_n \in \mathcal{C}, E_n \in E_{n+1}, E = \bigcup_n E_n, \mu(E_n) = \nu(E_n) < \infty$

PF: La grande ligne est de montrer que l'ensemble $$\mathcal{G} = \{A \in \mathcal{A} | \mu(A) = \nu(A)\}$$
est une classe monotone, qui implique que l'unicité peut s'extender sur $\mathcal{A}$.   La première condition est en fait suffisant pour une mesure de probabilité et le deuxième généralise ce théorème dans le cas mesure infinie approximation d'une suite de mesure finie définie comme $$\mu_n(\cdot) = \mu(\cdot \cap E_n)$$