Séminaire 30/05/2017 : Courbure de Ricci sur graphe

Cette séminaire est très intéressante car elle réponds ma question sur comment définir une courbure sur un graphe, même si pour l'instant, la définition ne suffit pas de retrouver toutes les propriétés géométriques. Comme je travaille maintenant  sur la carte aléatoire et la gravité quantique, j'aimerais vraiment avancer encore une étape d'attaquer la partie géométrique. Pour la suite, je vais taper plusieurs propositions dans cette séminaire.(D'après Hervé Pajot)

Rappelle de géométrie Riemannienne 

Soit $M$ une variété muni de métrique $g$, on peut définir la distance de courbe $$L(r) = \int_0^1 \sqrt{g(\frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial  r}{\partial t})}dt$$

et la volume $$ Vol(A) = \int_A \sqrt{det(g)} dx$$

En plus, on peut aussi définir la courbure de Ricci, qui reflet beaucoup de propriétés de cette variété. Par exemple, on sait que une variété avec la courbure de Ricci positive a une croissance de volume comme dans l'espace $\mathbb{R}^d$. Et surtout, borné en bas nous permet d'utiliser l'inégalité de Poincaré. Donc, on aimerait d'avoir une généralisation dans espace métrique.

Espace métrique

Différent que la variété Riemannienne, dans un espace métrique, la distance de courbe n'est pas bien défini à priori. C'est pour ça, on travaille dans un espace métrique, mesuré, de distance $(X, d, \mu)$. Une manière de construction est la courbure d’alexandra, qui est invariant sous la convergence de distance de Gromov-Haussdorff. D'ailleurs, la variété avec la courbure de Ricci positive  est pré-compacte dans l'espace $(K, d_{GH})$. 

Espace Wasserstein

Dans  la recherche de transport optimal,  on utilise souvent la distance de Wasserstein et l'espace de Wasserstein $(P(X), W_2)$. En fait, si l'espace $X$ est de distance, ainsi que l'espace de Wasserstein. Donc il existe géodésique entre deux distribution. Plus précisément, les élément dans  $(P(X), W_2)$ sont tous distribution de probabilité et une géodésique $\mu_t$ est la courbe plus courte de relier $\mu_0$ et $\mu_1$. Comme ça on sait comment trouver le transport optimal, c'est juste  trouver cette géodésique.

En utilisant cette idée, les mathématiciens définissent aussi une généralisation de courbure de Ricci qui s'appelle N-Ricci. Soit une une suite d'espace de courbure  positive, alors sa limite dans le sens de Gromov-Haussdorff est aussi de courbure positive. En plus, sur l'espace comme ça, on peut appliquer l'inégalité de Poincaré.

Généralisation sur graphe

Même si l'on a plusieurs manière de définir la courbure de Ricci sur un graphe, mais dans mon avis, ils ne retrouvent pas toutes les propriétés. Peut-être c'est aussi parce que l'objet étudié par probabiliste est plus concret et la description d'analyse ne suffit pas de tout dessiner.